Question

【題目】已知函數f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝2x＋ax3，a為實常數．

(1)求g(x)的單調區間；

(2)當a＝－1時，證明：存在x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線互相平行.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；

（2）代入a的值，令h（x）＝f′（x）﹣g′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2+3x2，根據函數的單調性證明即可．

（1）g′(x)＝3ax2+2，

當a≥0時，g′(x)＞0故g(x)的單調增區間為（﹣∞，+∞）.

當a＜0時，令g′(x)≥0得x，g(x)的單調增區間為[x]，

g（x）的單調減區間為：（﹣∞，），（，+∞）

（2）當a＝﹣1時，f′(x)＝ex﹣e﹣x，g′(x)＝2﹣3x2，

x0∈（0，1），使得y＝f(x)和y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線互相平行．

即x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0），且f（x0）≠g（x0），

令h(x)＝f′(x)﹣g′(x)＝ex﹣e﹣x﹣2+3x2，

h（0）＝﹣2＜0，h（1）＝e2+3＞0，

∴x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0）.

∵當x∈（0，）時,g′(x)＞0，當x∈（，1）時g′(x)＜0，

∴所以g(x)在區間（0，1）的最大值為g（），g（）2.

而f(x)＝ex+e﹣x≥22，

∴x∈（0，1）時f(x)＞g(x)恒成立，∴f（x0）≠g（x0）．

從而當a＝﹣1時，：x0∈（0，1），使得y＝f(x)和y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線互相平行．