Question

【題目】設(shè)函數(shù)（，且），，（其中為的導(dǎo)函數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求的極大值點(diǎn)；

（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）令求出的極值點(diǎn)，判斷的符號(hào)變化即可得出答案；
（2）對(duì)a和x進(jìn)行討論，利用零點(diǎn)的存在性定理，結(jié)合函數(shù)的圖象判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

試題解析：

（1），

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，故的極大值點(diǎn)為；

（2）（i）先考慮時(shí)， 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)， 為單減函數(shù)，

； ，由零點(diǎn)存在性定理知有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由得

，令，則.

由得， ，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

故， ，且總成立，故的圖像如下圖，

由數(shù)形結(jié)合知，

②若即時(shí)，當(dāng)時(shí)， 無零點(diǎn)，故時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；

②若即時(shí)，當(dāng)時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)，故時(shí)， 有個(gè)零點(diǎn)；

③若即，當(dāng)時(shí)， 有個(gè)零點(diǎn)，故時(shí)， 有個(gè)零點(diǎn).

（ii）再考慮的情形，若，則，同上可知，

當(dāng)即時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)即時(shí)， 有個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)即時(shí)， 有個(gè)零點(diǎn).

綜合上述，

①當(dāng)或時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)或時(shí)， 有個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)或時(shí)， 有個(gè)零點(diǎn).