Question

【題目】如圖所示，在等腰直角三角形中， ， 為的中點，點在上，且，現沿將折起到的位置，使，點在上，且.

(1)求證： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)建立空間直角坐標系，結合直線的方向向量和平面的法向量即可證得平面；

(2)求得平面的法向量，結合夾角公式可得二面角的余弦值是.

試題解析：

(1)因為， ，所以建立以點為原點，分別以所在直線為軸的空間直角坐標系，如圖所示.

則， ， ， .

易知為平面的一個法向量，

又因為，所以，

又平面，所以平面.

(2)由(1)知， ， ， ，

設平面的法向量為，

則，即.

令，解得為平面的一個法向量，

又因為為平面的一個法向量，所以，

所以二面角的余弦值為.