Question

【題目】已知一個口袋中裝有n個紅球(n≥1且n∈N+)和2個白球,從中有放回地連續摸三次,每次摸出2個球,若2個球顏色不同則為中獎,否則不中獎.

(1)當n=3時,設三次摸球中中獎的次數為X,求隨機變量X的分布列;

(2)記三次摸球中恰有兩次中獎的概率為P,求當n取多少時,P的值最大.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1或2

【解析】

（1）當n=3時，每次摸出兩個球，中獎的概率p==，設中獎次數為ζ，則ζ的可能取值為0，1，2，3．分別求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ．

（2）設每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸球（每次摸球后放回）恰有兩次中獎的概率為P（ζ=2）=p2（1﹣p）=﹣3p3+3p2，0＜p＜1，由此利用導數性質能求出n為1或2時，P有最大值．

（1）當n=3時，每次摸出兩個球，中獎的概率，

； ；

；；

ξ分布列為：

ξ	0	1	2	3
p

（2）設每次摸獎中獎的概率為p，

則三次摸球（每次摸獎后放回）恰有兩次中獎的概率為：

，0＜p＜1，

P'=﹣9p2+6p=﹣3p（3p﹣2），知在上P為增函數，在上P為減函數，

當時P取得最大值．

又，

故n2﹣3n+2=0，解得：n=1或n=2，

故n為1或2時，P有最大值．