Question

【題目】函數(shù)f（x）=（x2﹣3）ex ， 當(dāng)m在R上變化時(shí)，設(shè)關(guān)于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣ =0的不同實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為n，則n的所有可能的值為（ ）
A.3
B.1或3
C.3或5
D.1或3或5

Answer 1

【答案】A
【解析】解：函數(shù)f（x）=（x2﹣3）ex的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x+3）（x﹣1）ex ， 當(dāng)x＞1或x＜﹣3時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)﹣3＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）在x=1處取得極小值﹣2e；在x=﹣3處取得極大值6e﹣3 ，
作出f（x）的圖象，如圖所示；
關(guān)于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣ =0，
由判別式為m2+ ＞0，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
令t=f（x），則t2﹣mt﹣ =0，t1t2=﹣ ＜0，
則原方程有一正一負(fù)實(shí)根．
當(dāng)t＞6e﹣3 ， y=t和y=f（x）有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)0＜t＜6e﹣3 ， y=t和y=f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)﹣2e＜t＜0時(shí)，y=t和y=f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)t＜﹣2e時(shí)，y=t和y=f（x）沒(méi)有交點(diǎn)，
則x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣ =0的實(shí)根個(gè)數(shù)為3．
故選：A．