Question

【題目】設[x]表示不超過x的最大整數，如：[π]=3，[﹣4.3]=﹣5．給出下列命題： ①對任意實數x，都有[x]﹣x≤0；
②若x1≤x2 ， 則[x1]≤[x2]；
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90；
④若函數f（x）= ﹣ ，則y=[f（x）]+[f（﹣x）]的值域為{﹣1，0}．
其中所有真命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：對于①，對任意實數x，都有[x]﹣x≤0，滿足新定義∴①正確．

對于②，x1≤x2，則[x1]≤[x2]，∴②正確．

對于③，[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg100]

=0+1×90+2=92，∴③不正確．

對于④，函數f（x）= ﹣ = ，

同理可得，f（﹣x）∈（﹣ ， ），

當f（x）∈ 時，f（﹣x）∈（0， ），∴[f（x）]=﹣1，[f（﹣x）]=0，

∴[f（x）]+[f（﹣x）]=﹣1，

同理當f（﹣x）∈ 時，f（x）∈（0， ），∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=﹣1，

∴[f（x）]+[f（﹣x）]=﹣1，

當f（x）=0時，f（﹣x）=0，∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=0，

∴[f（x）]+[f（﹣x）]=0，

綜上，y=[f（x）]+[f（﹣x）]={﹣1，0}

∴④正確．

故答案為：①②④．

直接利用定義判斷①②的正誤；利用對數值以及新定義求解判斷③的正誤；先由題意先化簡函數f（x）= ﹣ ，通過f（x）與f（﹣x）的值域討論，求出f（x）]+[f（﹣x）]的值，判斷④的正誤．