Question

【題目】【2018屆北京市海淀區】如圖，三棱柱側面底面，

， 分別為棱的中點.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求三棱柱的體積；

（Ⅲ）在直線上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）在直線上存在點，使得平面，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據題目中的側面底面， 由條件知底面， ；（3）連接并延長，與的延長線相交，設交點為，證線線平行即，進而得到線面平行。

解析：

（Ⅰ）證明：三棱柱中，

側面底面， ，

又因為側面底面， 底面，

所以平面，又因為平面，

所以；

（Ⅱ）連接 ,因為三棱柱中，所以.

因為，所以.又因為，且.

所以△是邊長為2的正三角形.因為是棱的中點，所以，

又因為， ，所以.

因為， 底面，

所以底面.所以三棱柱的體積為

；

（Ⅲ）在直線上存在點，使得平面.

證明如下：連接并延長，與的延長線相交，設交點為.連接.

因為，所以，故

由于為棱的中點，所以，故有

又為棱的中點，故為的中位線，所以.

又平面， 平面，所以平面.

故在直線上存在點，使得平面.

此時， .