Question

【題目】已知函數(shù)fk（x）=2x﹣（k﹣1）2﹣x（k∈Z），x∈R，g（x）= ．
（1）若f2（x）=2，求x的值．
（2）判斷并證明函數(shù)y=g（x）的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：

由題意， ∴ ，

∴（2x）2﹣2（2x）﹣1=0

∴ ，或 （舍去）∴

（2）解： ，

∵當(dāng)x變大時(shí)，4x+1變大， 也變大，g（x）變大

∴g（x）在R上單調(diào)遞增．

證明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2

則f（x1）﹣f（x2）= =

= =

∴x1＜x2

∴

∴ ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0

∴f（x1）＜f（x2）

∴f（x）在R上是增函數(shù)

（3）解：y=f0（2x）+2mf2（x）=22x+2﹣2x+2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2+2+2m（2x﹣2﹣x）

令t=2x﹣2﹣x，則t在R上單調(diào)遞增．

∵x∈[1，+∞），∴

條件等價(jià)于 在x∈[1，+∞）上有零點(diǎn)，

即： 在 上有零點(diǎn)

令 任取 ，

則

∵ ∴ ∴h（t1）﹣h（t2）＜0∴h（t1）＜h（t2）

∴h（t）在 上單調(diào)遞增

∴當(dāng) 時(shí)， ，即

所以，

【解析】1、由代入特殊值可得 f2 ( x ) = 2 x 2 x = 2 ∴ 2 x 1 2 x = 2 ，∴（2x）2﹣2（2x）﹣1=0，由指對(duì)互化可得結(jié)果。
2、由函數(shù)的增減性定義可得該函數(shù)為增函數(shù)。
3、整體思想代換令t=2x﹣2﹣x， t ≥ 即 2 m = = t +在 t ≥ 上有零點(diǎn),.令 h ( t ) = t + ， t ∈ [ ， + ∞ ) 任取 3 2 ≤ t1 < t2 ,則 h ( t1 ) h ( t2 ) =,由增減函數(shù)的定義可得h（t）在 [ ， + ∞ ) 上單調(diào)遞增，所以， m ≤
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．