Question

【題目】在四棱錐A﹣BCDE中，底面BCDE為平行四邊形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°
（1）求異面直線AB與DE所成角的大小；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設BE的中點為O，連結AO，DO，

∵AB=AE，BO=OE，∴AO⊥BE，同理DO⊥BE，

又∵平面ABE⊥平面BCDE，

平面ABE∩平面BCDE=BE，

∴AO⊥平面BCDE，

由題意，BE2=2AB2=2DB2，

∴AB=BD=DE=AE，

設AB=1，以B為原點，以BC為x軸，BD為y軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則B（0，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），

E（﹣1，1，0），A（﹣ , ， ），

則 =（ ）， =（﹣1，0，0），

∵cos＜ ， ＞= = =﹣ ，

∴ 與 的夾角為120°，

異面直線AB與DE所成角為60°．

（2）解：設平面ACE的法向量 =（x，y，z），

=（ ）， =（﹣1，1，0），

則 ，取x=1，得 =（1，1，0），

設平面ABE的法向量為 =（a，b，c），

=（ ）， ，

則 ，取a=1，得 =（1，2， ），

設二面角B﹣AE﹣C的平面角為θ，

cosθ=|cos＜ ＞|= = ．

∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1）設BE的中點為O，連結AO，DO，由已知得AO⊥BE，DO⊥BE，從而AO⊥平面BCDE，設AB=1，以B為原點，以BC為x軸，BD為y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AB與DE所成角為60°．（2）求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣C的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系才能正確解答此題．