Question

【題目】如圖1，在△中， ， 分別為， 的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)， ， ．將△沿折起到△的位置，使得平面平面， 為的中點(diǎn)，如圖2．

（1）求證： 平面；

（2）求證：平面平面；

（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）取線段的中點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)以及平行四邊形性質(zhì)得四邊形為平行四邊形，即得．再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得．再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，即得，根據(jù)勾股定理得，所以由線面垂直判定定理得 平面，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論，（3）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，則，與條件矛盾.

試題解析：

解：（1）取線段的中點(diǎn)，連接， ．

因?yàn)樵凇?/span>中， ， 分別為， 的中點(diǎn)，所以 ， ．

因?yàn)?， 分別為， 的中點(diǎn)，所以 ， ，

所以 ， ，所以 四邊形為平行四邊形，所以 ．

因?yàn)?平面， 平面，所以 平面．

（2）因?yàn)樵凇?/span>中， ， 分別為， 的中點(diǎn)，所以 ．

所以，又為的中點(diǎn)，

所以 ．

因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面，

所以 平面，所以 ．

在△中， ，易知 ，

所以 ，所以 平面，

所以 平面平面．

（3）線段上不存在點(diǎn)，使得平面．

否則，假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，

連接 ， ，則必有 ，且．

在△中，由為的中點(diǎn)， ，得為的中點(diǎn)．

在△中，因?yàn)?/span>，所以，

這顯然與， 矛盾！

所以線段上不存在點(diǎn)，使得平面．