Question

【題目】在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點．

（Ⅰ）求證：AB∥平面DEG；

（Ⅱ）求二面角C-DF-E的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)∴四邊形是平行四邊形∴∴平面(Ⅱ)

【解析】

試題（Ⅰ）利用判定定理證明線面平行時，關鍵是在平面內找一條與已知直線平行的直線，解題時可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過平行線分線段成比例等；（Ⅱ）1．使用空間向量求解空間角的關鍵是建立空間直角坐標系后，將空間角轉化為向量的運算，然后借助于直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何中的計算問題．在角的問題中，線面角和二面角是重點．2．注意角的范圍，如異面直線所成角的范圍是，線面角的范圍是，二面角的范圍是.

試題解析：（Ⅰ）證明：∵，∴.

又∵，是的中點，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴. 2分

∵平面，平面， ∴平面. 4分

（Ⅱ）解∵平面，平面，平面，

∴，，

又，∴兩兩垂直.

以點E為坐標原點，以所在直線分別為軸建立如圖的空間直角坐標系. 6分

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2）． 7分

由已知得是平面的法向量. 8分

設平面的法向量為，

∵，

∴，即，令,得. 10分

設二面角的大小為，由圖知為鈍角，

∴，

∴二面角的余弦值為12分