Question

若函數f(x)對任意的實數x1，x2∈D，均有|f(x2)－f(x1)|≤|x2－x1|，則稱函數f(x)是區間D上的“平緩函數”．

(1)判斷g(x)＝sin x和h(x)＝x2－x是不是實數集R上的“平緩函數”，并說明理由；

(2)若數列{xn}對所有的正整數n都有|xn＋1－xn|≤，設yn＝sin xn，求證：|yn＋1－y1|＜.

 

Answer 1

（1）不是（2）見解析

【解析】g(x)＝sin x是R上的“平緩函數”，但h(x)＝x2－x不是區間R上的“平緩函數”．設φ(x)＝x－sin x，則φ′(x)＝1－cos x≥0，則φ(x)＝x－sin x是實數集R上的增函數，

不妨設x1＜x2，則φ(x1)＜φ(x2)，即x1－sin x1＜x2－sin x2，

則sin x2－sin x1＜x2－x1.①

又y＝x＋sin x也是R上的增函數，則x1＋sin x1＜x2＋sin x2，

即sin x2－sin x1＞x1－x2，②

由①②得－(x2－x1)＜sin x2－sin x1＜x2－x1.

∴|sin x2－sin x1|＜|x2－x1|對x1＜x2都成立．

當x1＞x2時，同理有|sin x2－sin x1|＜|x2－x1|成立．

又當x1＝x2時，|sin x2－sin x1|＝|x2－x1|＝0，

∴對任意的實數x1，x2∈R，

均有|sin x2－sin x1|≤|x2－x1|.

∴g(x)＝sin x是R上的“平緩函數”．

∵|h(x1)－h(x2)|＝|(x1－x2)(x1＋x2－1)|，

取x1＝3，x2＝2，則|h(x1)－h(x2)|＝4＞|x1－x2|，

∴h(x)＝x2－x不是R上的“平緩函數”．

(2)證明　由(1)得g(x)＝sin x是R上的“平緩函數”．

則|sin xn＋1－sin xn|≤|xn＋1－xn|，

∴|yn＋1－yn|≤|xn＋1－xn|.

而|xn＋1－xn|≤，

∴|yn＋1－yn|≤＜＝.

∵|yn＋1－y1|＝|(yn＋1－yn)＋(yn－yn－1)＋(yn－1－yn－2)＋…＋(y2－y1)|，

∴|yn＋1－y1|≤|yn＋1－yn|＋|yn－yn－1|＋|yn－1－yn－2|＋…＋|y2－y1|.

∴|yn＋1－y1|≤

＝＜.