Question

【題目】若對于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范圍為_____．

Answer 1

【答案】[25，57]

【解析】

先把不等式變形為﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，結合f（x）＝x最值，找到的限制條件，結合線性規劃的知識可得.

對于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，

可得當x∈[1，4]時，不等式﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，

設f（x）＝x，x∈[1，4]；

可得x∈[1，2]時f（x）遞減，x∈[2，4]時f（x）遞增，

可得時取得最小值4，或時取得最大值5，

所以f（x）的值域為[4，5]；

所以原不等式恒成立，等價于，

即，

設，則，

所以，

所以目標函數z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，

當y≥x時，目標函數z＝3x+4y+25，

畫出不等式組表示的平面區域，如圖，

由圖可知x＝0，y＝0時zmin＝25，x＝4，y＝5時zmax＝57；

當y＜x時，目標函數z＝5x+2y+25，如圖，

由圖可知x＝0，y＝0時zmin＝25，x＝4，y＝4時zmax＝53；

綜上可得，|a|+|a+b+25|的范圍是[25，57]．