Question

已知命題p：關于x的不等式x²+2ax+4＞0對?x∈R恒成立；命題q：函數y=-（4-2a）^x是R上的減函數．若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，則實數a的取值范圍是

[

3

2

，2）∪（-∞，-2]

．

Answer 1

分析：由關于x的不等式x²+2ax+4＞0對一切x∈R恒成立可得△=4a²-16＜0可得P；由函數f（x）=-（4-2a）^x是減函數可得4-2a＞1可得q，若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則p，q中一個為真，一個為假，分情況求解a的取值范圍．

解答：解析：先簡化命題p、q，構建關于a的關系式．
由x²+2ax+4＞0對?x∈R恒成立，得
T△=（2a）²-4×4＜0，解得-2＜a＜2．
所以p：-2＜a＜2．
由y=-（4-2a）^x是R上的減函數，
得4-2a＞1，解得a＜

3

2

．
所以q：a＜

3

2

．
由“p∨q”為真，“p∧q”為假知，p與q中必有一真一假，即p真q假或p假q真．
所以

-2＜a＜2 a≥ 3 2

或

a≤-2或a≥2 a＜ 3 2

從而得

3

2

≤a＜2或a≤-2．
故答案為：[

3

2

，2）∪（-∞，-2]．

點評：本題主要考查了p或q復合命題的真假的應用，解題的關鍵是利用二次函數的性質及指數函數的單調性準確求出命題p，q為真時a的范圍．