Question

已知命題p：關于x的不等式x²-2x-a＞0解集為R；命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則實數a的取值范圍為

[-1，1）∪(

5

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：命題p：a＜-1．命題q：a＞

5

2

，或a＜1．由“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，知“p真q假”或“p假q真”．由此通過分類討論能求出實數a的取值范圍．

解答：解：∵命題p：關于x的不等式x²-2x-a＞0解集為R，
∴命題p：4+4a＜0，
即命題p：a＜-1．
∵命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點，
∴命題q：（2a-3）²-4＞0，
即命題q：a＞

5

2

，或a＜1．
∵“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，
∴“p真q假”或“p假q真”．
當“p真q假”時，

a＜-1 1≤a≤ 5 2

，無解．
當“p假q真”時，

a≥-1 a＞ 5 2 ，或a＜1

，
解得-1≤a＜1或a＞

5

2

．
故答案為：[-1，1）∪(

5

2

，+∞)．

點評：本題考查復合命題的真假判斷和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意不等式解題公式的合理運用．