Question

設f（x）=sinx，g（x）=a+cosx，x∈[0，2π]，若f（x）的圖象與g（x）的圖象交點的個數有且僅有一個，則a的值為

 

．

Answer 1

分析：本題中x∈[0，2π]，f（x）的圖象與g（x）的圖象交點的個數有且僅有一個，可以轉化為相關的方程sinx=a+cosx，在x∈[0，2π]僅有一個解，進而整理成a=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

）在x∈[0，2π]僅有一個解，由圖象極易得出參數的值．

解答：解：∵f（x）的圖象與g（x）的圖象交點的個數有且僅有一個，
∴sinx=a+cosx，在x∈[0，2π]僅有一個解，
∴a=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

）在x∈[0，2π]僅有一個解，
∵y=

2

sin（x+

π

4

）的周期正好是2π
由其圖象知，當a的值為

2

或-

2

時a=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

）在x∈[0，2π]僅有一個解，
即f（x）的圖象與g（x）的圖象交點的個數有且僅有一個
故答案為

2

或-

2

．

點評：本題考查正弦類函數圖象的性質，正確解答本題的關鍵是將問題進行正確的轉化，即將兩他函數的圖象有一個交點的問題轉化為相應的方程有一個根的問題，二者的相互轉化給相關題的求解帶來了極大的方便，解題時要注意這一技巧的使用．