Question

在△ABC中，a，b，c是內角A，B，C的對邊，且a²+b²-c²-ab=0．
（1）求角C；
（2）設f（x）=sinx+

3

cosx，求f（A）的最大值，并確定此時△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）通過已知條件，利用余弦定理求出cosC的值，即可求角C；
（2）化簡f（x）=sinx+

3

cosx為一個角的一個三角函數的形式，集合A的范圍，直接求f（A）的最大值，求出三角形的三個內角即可確定此時△ABC的形狀．

解答：解：（1）因為在△ABC中，a，b，c是內角A，B，C的對邊，且a²+b²-c²-ab=0，
由余弦定理可知cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，所以C=

π

3

．
（2）由（1）A∈（0，

2π

3

）且f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），
∴f（A）=2sin（A+

π

3

），
A∈（0，

2π

3

），∴A+

π

3

∈(

π

3

，π)
∴當A+

π

3

=

π

2

即A=

π

6

時，f（A）=2sin（A+

π

3

），
取最大值2；此時A=

π

6

，B=

π

2

，C=

π

3

，
故三角形是有一個角為30°的直角三角形．

點評：本題考查余弦定理的應用，兩角和的正弦函數的應用，三角形的判斷，考查邏輯推理能力計算能力．