Question

已知復數z₁，z₂滿足|z₁|=|z₂|=1，且
（1）求|z₁-z₂|的值；
（2）求證：；

Answer 1

【答案】分析：（1）利用共軛復數與復數的模相等，|z|||=z²=，求出|z₁-z₂|²的值，進而確定|z₁-z₂|的值．
（2）利用（1）的（z₁+z₂）=（z₁-z₂），推出=-，確定是純虛數，得到要證明的結論．
解答：解：（1）由條件|z₁-z₂|=，可記復數z的共軛復數為．
∵|z₁|=|z₂|=1．∴==1．
又|z₁+z₂|=，∴（z₁+z₂）=2．═＞++（+）=2．
═＞+=0．
∴|z₁-z₂|²=（z₁-z₂）=++（+）=2．
∴|z₁-z₂|=
（2）∵|Z₁+Z₂|=|Z₁-Z₂|
∴|Z₁+Z₂|²=|Z₁-Z₂|²
∴（z₁+z₂）=（z₁-z₂）
∴=-
∴
∴是純虛數，∴
點評：本題考查復數求模，復數的基本概念，考查計算能力，是基礎題，公式的靈活運用，是解好題目的關鍵．