Question

已知復數(shù)z₁，z₂滿足|z₁|=|z₂|=1，且|z1+z2|=

2

（1）求|z₁-z₂|的值；
（2）求證：(

z1

z2

)2＜0；

Answer 1

分析：（1）利用共軛復數(shù)與復數(shù)的模相等，|z||

.

z

|=z²=

.

z

2，求出|z₁-z₂|²的值，進而確定|z₁-z₂|的值．
（2）利用（1）的（z₁+z₂）

.

z1+z2

=（z₁-z₂）

.

z1-z2

，推出z1

.

z2

=-z2

.

z1

，確定

z1

z2

是純虛數(shù)，得到要證明的結論．

解答：解：（1）由條件|z₁-z₂|=

2

，可記復數(shù)z的共軛復數(shù)為

.

z

．
∵|z₁|=|z₂|=1．∴z1

.

z1

=z2

.

z2

=1．
又|z₁+z₂|=

2

，∴（z₁+z₂）

.

z1+z2

=2．═＞z1

.

z1

+z2

.

z2

+（z1

.

z2

+z2

.

z1

）=2．
═＞z1

.

z2

+z2

.

z1

=0．
∴|z₁-z₂|²=（z₁-z₂）

.

z1-z2

=z1

.

z1

+z2

.

z2

+（z1

.

z2

+z2

.

z1

）=2．
∴|z₁-z₂|=

2

（2）∵|Z₁+Z₂|=|Z₁-Z₂|
∴|Z₁+Z₂|²=|Z₁-Z₂|²
∴（z₁+z₂）

.

z1+z2

=（z₁-z₂）

.

z1-z2

∴z1

.

z2

=-z2

.

z1

∴

z1

z2

=-

. z1

. z2

∴

z1

z2

是純虛數(shù)，∴  (

z1

z2

)2＜0

點評：本題考查復數(shù)求模，復數(shù)的基本概念，考查計算能力，是基礎題，公式的靈活運用，是解好題目的關鍵．