對于定義域為
的函數
，如果存在區間
，同時滿足：
①
在
內是單調函數；②當定義域是，值域也是，則稱是函數
的“好區間”.
（1）設
（其中
且
），判斷
是否存在“好區間”，并
說明理由；
（2）已知函數
有“好區間”，當
變化時，求
的最大值.
（1）不存在“好區間”；（2）的最大值為
.
解析試題分析：（1）先求出
的定義域.可知要對
分情況討論，當
時，定義域
，在內是增函數；當
時，定義域
，在內還是增函數.從而得出
，即方程
在定義域
內有兩個不等的實數根，即
在定義域內有兩個不等的實數根.再用換元法，設
，則相當于
兩個不等的實數根，即
在
內有兩個不等的實數根,通過研究二次函數
，發現在內有兩個不等的實數根無解，所以函數不存在“好區間”；（2）函數有“好區間”，由于
定義域為
，
或
，易知函數
在上單調遞增，
，所以
是方程
，即方程
有同號的相異實數根，然后再用判別式求出的范圍，再用韋達定理用表示出，結合的范圍即可求出的最大值.
試題解析：（1）由
. 2分
①當時，
，此時定義域，
，
，
，
，
，
，
，
，
在內是增函數； 4分
②當時，
，此時定義域，
同理可證在內是增函數； 6分存在“好區間”
，
關于
的方程在定義域內有兩個不等的實數根.
即在定義域內有兩個不等的實數根.(*)
設，則(*)，
即在內有兩個不等的實數根，
設
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數
(1)設
,
,證明:
在區間
內存在唯一的零點;
(2) 設
,若對任意
,有
,求
的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,設
是
在
內的零點,判斷數列
的增減性.
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，且
．
的值，并確定函數
的定義域；
在
范圍內的單調性；
時，求出函數
．
，
恒成立，求
的最大值；
有且僅有一個實根，求
的取值范圍．
是定義在
上的奇函數，且
，若
，
有
恒成立.
對所有
恒成立，求實數
的取值范圍。
.
在其定義域內為單調遞增函數，求實數
的取值范圍；
，且
，若在
上至少存在一點
，使得
成立，求實數
，試判斷此函數
在
上的單調性，并求此函數
（
為常數）．
時，求
的單調遞減區間；
，且對任意的
，
恒成立，求實數
的函數
是奇函數.
的值；
的單調性;
，不等式
恒成立，求
的取值范圍．