Question

已知函數（e為自然對數的底數）
（1）求的最小值；
（2）若對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）的最小值為1；（2）實數的取值范圍是.

試題分析：（1）先對求導，得出函數的單調區間，即可求出函數的最小值為1；
（2）不等式恒成立，變形為，構造新函數；求得的最小值，
從而實數的取值范圍是．
試題解析：（1）的導函數，令，解得；
令，解得.
從而在內單調遞減，在內單調遞增.
所以，當時，取得最小值1.                       6分
（2）因為不等式的解集為，且，
所以對于任意，不等式恒成立.
由，得.
當時，上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況.
將變形為.
令，則的導函數，
令，解得；令，解得.
從而在內單調遞減，在內單調遞增.
所以，當時，取得最小值，
從而實數的取值范圍是.                       13分