Question

設函數，，.
（1）若，求的單調遞增區間；
（2）若曲線與軸相切于異于原點的一點，且的極小值為，求的值.

Answer 1

(1)證明過程詳見解析(2) ，.

試題分析：
(1)將條件帶入函數解析式消b,得到,對該三次函數求導得到導函數,由于,故該導函數為二次函數,根據題意需要求的該二次函數大于0的解集,因為二次函數含參數,故依次討論開口,的符號和根的大小,即可到導函數大于0的解集即為原函數的單調增區間.
(2)分析題意,可得該三次函數過原點,根據函數與x軸相切,所以有個極值為0且有一個重根,故可得函數有一個極大值0和一個極小值,有一個重根,則對因式分解會得到完全平方式,即提取x的公因式后,剩下二次式的判別,得到a,b之間的關系式,再根據極小值為,則求導求出極小值點,得到關于a,b的另外一個等式,即可求出a,b的值.
試題解析：
（1），．
令，，
當時，由得．
①當時，的單調遞增區間為；      3分
②當時，的單調遞增區間為；                      5分
③當時，的單調遞增區間為.          7分
（2），
依據題意得：,且 ①          9分
，得或            .    11分
因為，所以極小值為,
∴且，得，  13分
代入①式得，.             15分