Question

（本小題滿分14分）
已知函數f（x）=（x²+ax-2a-3）·e^3-x （a∈R）
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設g（x）=（a²+）e^x（a>0），若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|<1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

⑴，此時在上為減函數，在上為增函數，在上為減函數；
當時，，此時在上為減函數；
當時，此時在上為減函數，在上為增函數，在上為減函數．
⑵ a的取值范圍為．

試題分析：⑴，令，
即所以
所以 …………………………………………………………………3分
，此時在上為減函數，在上為增函數，在上為減函數；
當時，，此時在上為減函數；
當時，此時在上為減函數，在上為增函數，在上為減函數． ………………………………………………………………………………6分
⑵ 當時，，則在上為增函數，在上為減函數
又
∴在上的值域為 ………………………………………8分
又在上為增函數，其值域為……10分

等價于……………………………………………12分
存在使得成立，只須
，又
∴a的取值范圍為． ………………………………………………………………14分
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（2）涉及恒成立問題，轉化成求函數的最值，這種思路是一般解法，往往要利用“分離參數法”，本題最終化為最值之間故選的研究，體現考題“起點高，落點低”的特點。