Question

（本小題共8分）
已知函數f（x）對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x>0時，f（x）>0，f（－1）=－2，求f（x）在[－2，1]上的值域。

Answer 1

[－4，2].

試題分析：解：設x，x∈R，且x<x，則x－x>0，由條件當x>0時，f（x）>0
所以f（x－x）>0
又f（x）=f[（x－x）+x]=f（x－x）+f（x）>f（x）。
所以f（x）為增函數。
令y=－x，則f（0）=f（x）+f（－x）.
又令x=y=0得f（0）=0，所以f（－x）=－f（x），即f（x）為奇函數。
所以f（1）=－f（－1）=2，f（－2）=2f（－1）=－4.
所以f（x）在[－2，1]上的值域為[－4，2].                     8分
點評：根據題意利用定義法得到函數的單調性，進而求解函數的值域，屬于基礎題。