Question

【題目】已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率，橢圓上的點到焦點的最短距離為, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且.

（1）求橢圓方程；

（2）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y21．

（2）（﹣1，）∪（，1）．

【解析】

（1）由條件知a﹣c＝1，，

∴a＝1，b＝c，故C的方程為：y21．

（2）設l：y＝kx+m與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2）

聯立得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）＝0

△＝（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）＝4（k2﹣2m2+2）＞0 （*）

x1+x2，x1x2

∵3，

∴﹣x1＝3x2

∴x1+x2＝﹣2x2，x1x2＝﹣3x22，

消去x2，得3（x1+x2）2+4x1x2＝0，

∴3（）2+40

整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2＝0

m2時，上式不成立；

m2時，k2，

因λ＝3，∴k≠0，∴k20，

∴﹣1＜m或m＜1

容易驗證k2＞2m2﹣2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范圍為（﹣1，）∪（，1）．