Question

【題目】（1）數列{an}的前n項和為Sn＝10n﹣n2，求數列{|an|}的前n項和．

（2）已知等差數列{an}滿足a2＝0，a6+a8＝﹣10．求數列{}的前n項和．

Answer 1

【答案】（1）Tn；（2）Hn．

【解析】

（1）根據Sn＝10n﹣n2，利用通項與前n項和的關系，n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n＝1時也成立）求得an．令an≥0，解得n≤5．可得n≤5時，{|an|}的前n項和Tn＝a1+a2+……+an＝Sn．n≥6時，{|an|}的前n項和Tn＝a1+a2+……a5﹣a6+……﹣an＝2S5﹣Sn．即可得出Tn．

（2）設等差數列{an}的公差為d，由a2＝0，a6+a8＝﹣10．可得a1+d＝0，2a1+12d＝﹣10，聯立解得：a1，d，可得an．于是．利用錯位相減法即可得出．

（1）∵Sn＝10n﹣n2，

∴n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝10n﹣n2﹣[10（n﹣1）﹣（n﹣1）2]＝11﹣2n，

當n＝1時，滿足上式，故an＝11﹣2n.

令an≥0，解得n≤5．

∴n≤5時，{|an|}的前n項和Tn＝a1+a2+……+an＝Sn＝10n﹣n2．

n≥6時，{|an|}的前n項和Tn＝a1+a2+……a5﹣a6+……﹣an＝2S5﹣Sn＝2×（50﹣25）﹣（10n﹣n2）＝n2﹣10n+50．

綜上可得：Tn．

（2）設等差數列{an}的公差為d，∵a2＝0，a6+a8＝﹣10．

∴a1+d＝0，2a1+12d＝﹣10，

聯立解得：a1＝1，d＝﹣1，

∴an＝1﹣（n﹣1）＝2﹣n．

∴．

∴數列{}的前n項和Hn＝1+0．

Hn0．

相減可得：Hn＝，

，

．

.