Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為，在以原點為極點， 軸的非負(fù)關(guān)軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）將上的所有點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別伸長到原來的2倍和倍后得到曲線，求曲線的參數(shù)方程；

（2）若分別為曲線與直線的兩個動點，求的最小值以及此時點的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（為參數(shù)）；（Ⅱ）點的直角坐標(biāo)為時， 取得最小值.

【解析】試題分析：

(1)由題意可知曲線的直角坐標(biāo)方程為，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

(2)利用題意得到關(guān)于的三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得點的直角坐標(biāo)為時， 取得最小值.

試題解析：

（Ⅰ）在曲線上任取一點，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點在曲線上，滿足，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（Ⅱ）直線的直角坐標(biāo)方程為： ，設(shè)點，點到直線的距離為，當(dāng)，即點的直角坐標(biāo)為時， 取得最小值.