Question

如果實數(shù)x，y滿足

x≥0 y≥0 2x+y≤2

，對任意的正數(shù)a，b，不等式ax+by≤1恒成立，則a+b的取值范圍是______．

Answer 1

滿足約束條件

x≥0 y≥0 2x+y≤2

的平面區(qū)域如下圖所示，
由于對任意的正數(shù)a，b，不等式ax+by≤1恒成立，
又ax+by的最大值在右上邊界處取到，即在點（0，2）與點（1，0）處取到
∴

a≤1 2b≤1

即

a≤1 b≤ 1 2

又∵a＞0，b＞0，
∴a＜a+b≤

3

2

故a+b的取值范圍是(0，

3

2

]
故答案為：(0，

3

2

]