Question

【題目】已知數列{an}滿足an+1=λan+2n（n∈N* ， λ∈R），且a1=2．
（1）若λ=1，求數列{an}的通項公式；
（2）若λ=2，證明數列{ }是等差數列，并求數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當λ=1時，an+1=an+2n（n∈N*），且a1=2．

∴ ，

∴an=a1+a2﹣a1+a3﹣a2++an﹣an﹣1

=2+2+22++2n﹣1

=2+

=2n．

（2）證明：當λ=2時，an+1=2an+2n（n∈N*），且a1=2．

∴ ，即 = ，

∵ ，∴數列{ }是首項為1，公差為 的等差數列，

∴ = ，

∴an=（ ）2n=（n+1）2n﹣1，

∴數列{an}的前n項和：

Sn=220+32+422++（n+1）2n﹣1，①

2Sn=22+322+423++（n+1）2n，②

②﹣①，得：

Sn=（n+1）2n﹣2﹣（2+22+23++2n﹣1）

=（n+1）2n﹣2﹣

=（n+1）2n﹣2﹣2n+2

=n2n．

【解析】（1）當λ=1時， ，由此利用累加法能求出數列{an}的通項公式．（2）當λ=2時， = ，再由 ，能證明數列{ }是首項為1，公差為 的等差數列，從而an=（ ）2n=（n+1）2n﹣1，由此利用錯位相減法能出數列{an}的前n項和．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．