Question

已知y=f（x）是奇函數，且滿足f（x+2）+2f（-x）=0，當x∈（0，2）時，f(x)=Inx-ax(a＞

1

2

)，當x∈（-4，-2），f（x）的最大值為-

1

4

，則a=（　　）

• A．4
• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：由f（x）為奇函數可得f（x+2）-2f（x）=0，即f（x+2）=2f（x），從而可得f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），則f（x）=

1

4

f（x+4），當x∈（-4，-2）時，（x+4）∈（0，2），從而可求得f（x）表達式，再利用導數即可求得f（x）的最大值，令其為-

1

4

，即可解得．

解答：解：因為f（x）為奇函數，
所以f（x+2）+2f（-x）=0即f（x+2）-2f（x）=0，則f（x+2）=2f（x），f（x+4）=2f（x+2），
所以f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4），
當x∈（-4，-2）時，（x+4）∈（0，2），此時f（x）=

1

4

f（x+4）=

1

4

[ln（x+4）-a（x+4）]，
則f′（x）=

1

4

（

1

x+4

-a）=-

a(x+4- 1 a )

4(x+4)

，當-4＜x＜-4+

1

a

時，f′（x）＞0，f（x）遞增，當-4+

1

a

＜x＜-2時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
所以當x=-4+

1

a

時f（x）取得最大值-

1

4

，即f（-4+

1

a

）=

1

4

(ln

1

a

-a×

1

a

)=-

1

4

，解得a=1，
故選D．

點評：本題考查抽象函數的奇偶性及其應用，考查函數最值的求解，考查學生分析問題解決問題的能力，屬中檔題．