Question

【題目】已知函數，既存在極大值，又存在極小值.

（1）求實數的取值范圍；

（2）當時，，分別為的極大值點和極小值點.且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，結合函數的單調性確定的范圍即可；

（2）求出函數的極值點，問題轉化為，設，根據函數的單調性確定的范圍即可．

解：（1）由得，

即，

由題意，若存在極大值和極小值，則必有兩個不相等的實數根，

由得，所以必有一個非零實數根，

∴，，∴且，∴或.

綜上，實數的取值范圍為.

（2）當時，由（1）可知的極大值點為，極小值點為，

此時，，

依題意得對任意恒成立，

由于此時，所以；

所以，即，

設，，則

，

令，判別式.

①當時，，所以，在單調遞增，

所以，即，符合題意；

②當時，，設的兩根為，，且，

則，，因此，

則當時，，在單調遞減，

所以當時，，即，

所以，矛盾，不合題意；

綜上，的取值范圍是.