Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，垂直于底面ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC,PB的中點.

(Ⅰ)求證:PB⊥DM;
(Ⅱ)求點B到平面PAC的距離.

Answer 1

（Ⅰ）參考解析；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）要證PB⊥DM垂直，通過證明PB線⊥平面ANMD垂直得到.由于PA=AB，PA⊥AB,N是PB的中點，所以可得AN⊥PB.又因為直線AD⊥平面PAB所以可得AD⊥PB.從而可得直線PB垂直平面ANMD.即可得結論.
（Ⅱ）由于平面PAC⊥平面ABC.所以點B到平面PAC的距離，通過作BH⊥AC，垂足為H，所以可得BH⊥平面PAC,即線段BH的長為所求的結論.
試題解析：（1）因為N是PB的中點，PA=AB，
所以AN⊥PB,因為AD⊥面PAB，所以AD⊥PB,又因為AD∩AN=A，MN∥BC∥AD
從而PB⊥平面ADMN,因為平面ADMN，
所以PB⊥DM.　　　　　　   6分
(2)連接AC，過B作BH⊥AC，因為⊥底面，
BH面ABCDPA⊥BH   AC⊥BH，PA∩AC=A
所以BH是點B到平面PAC的距離.
在直角三角形ABC中，BH＝                 12分