Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，是否存在，使得和的圖象在處的切線互相平行，若存在，請(qǐng)給予證明，若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，見解析.

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可求解。

（2）當(dāng)時(shí)，求得，，假設(shè)，使得和的圖象在處的切線互相平行，轉(zhuǎn)化為使得，且，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在定理，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，可得，，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，由，，得，

由，解得；由，解得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

要使得函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則滿足，解得，

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，可得，，

假設(shè)，使得和的圖象在處的切線互相平行，

即使得，且.

令，則函數(shù)在上是減函數(shù)，

因?yàn)?/span>，，

所以，所以使得.

由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時(shí)，在上，

又由恒成立， 所以，而時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，，使得和的圖象在處的切線互相平行.