Question

【題目】過拋物線的焦點且斜率為1的直線與拋物線交于、兩點，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）點是拋物線上異于、的任意一點，直線、與拋物線的準線分別交于點、，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據題意，設直線，與拋物線方程聯立，再利用拋物線定義，由求解.

（2）設，得到直線，令，得到，再根據點均在拋物線上 ，將，，代入化簡得到，同理可得點的縱坐標為，然后由數量積坐標運算求解.

（1）由題意知，則直線，

代入拋物線，化簡得，

設，則，

因拋物線的準線方程為，

由拋物線的定義得，

，

故拋物線的方程為.

（2）設，則直線，

當時，，

∵點均在拋物線上

∴，

∴，

即點的縱坐標為，

同理可得點的縱坐標為，

∴，

由（1）知，

∴

∴，為定值.