Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，，∠ABC=∠BCD=90°，E為PB的中點。

（1）證明：CE∥面PAD.

（2）若直線CE與底面ABCD所成的角為45°，求四棱錐P-ABCD的體積。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取PA中點Q，連接QD，QE，可證四邊形CDQE為平行四邊形，從而CE∥QD，于是證得線面平行；

（2）連接BD，取BD中點O，連接EO，CO，可證EO∥PD，從而得到直線CE與底面ABCD所成的角，求得EO也即能求得PD，最終可得棱錐體積．

解法一:(1)取PA中點Q，連接QD，QE，

則QE∥AB，且QE=AB

∴QE∥CD，且QE=CD.

即四邊形CDQE為平行四邊形，CE∥QD.

又∵CE平面PAD，QD平面PAD，

∴CE∥平面PAD.

(2)連接BD，取BD中點O，連接EO，CO

則EO∥PD，且EO=PD.

∵PD⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD.

則CO為CE在平面ABCD上的射影，

即∠ECO為直線CE與底面ABCD所成的角，∠ECO=45°

在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，則BD=2，

則在RtΔECO中，∠ECO=45°，EO=CO=BD=

2PD=2E0=2，

∴

∴

∴四棱錐P-ABCD的體積為.

解法二：(1)取AB中點Q，連接QC，QE

則QE∥PA

∵PA平面PAD，QE平面PAD

∴QE∥平面PAD，

又∵AQ=AB=CD，AQ∥CD，

∴四邊形AQCDカ平行四跡形，

則CQ∥DA

∵DA平面PAD，CQ平面PAD，

∴CQ∥平面PAD，

(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD，證明其中一個即給2分)

又QE平面CEQ，CQ平面CEQ，QECQ=Q，

∴平面CEQ∥平面PAD，

又CE平面CQ，

∴CE∥平面PAD.

(2)同解法一.