【題目】已知橢圓C：
（
）的離心率為
，
，
，
，
的面積為1.
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為2的直線與橢圓交于
、
兩點
，求直線
的方程；
（3）在
軸上是否存在一點
，使得過點的任一直線與橢圓若有兩個交點
、
則都有
為定值？若存在，求出點的坐標及相應的定值.
【答案】（1）
（2）
（3）見解析
【解析】
（1）利用離心率和三角形
的面積列方程，由此解得
的值，進而求得橢圓的方程.（2）設出直線
的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，根據
，斜率乘積為
建立方程，解方程求得直線的方程.（3）設出過
點的直線方程，聯立直線方程和橢圓的方程，消去
，化簡后寫出韋達定理，代入
計算，根據為定值，求得點的坐標以及相應的定值.
（1）由已知，
，又
，解得
，
∴橢圓的方程為。
（2）設直線的方程為
，則由
可得
，
即
∵∴
∴直線的方程為
即
。
（3）設
、
、
，當直線
不為軸時的方程為
，
聯立橢圓方程得：
∴當且僅當
即
時
（定值）
即在軸上存在點使得為定值5
點E的坐標為
或
。經檢驗，
當直線
為軸時上面求出的點也符合題意。
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數，
），曲線的上點
對應的參數
，將曲線經過伸縮變換
后得到曲線
，直線
的參數方程為
（1）說明曲線是哪種曲線，并將曲線轉化為極坐標方程；
（2）求曲線上的點
到直線的距離的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f(x)對任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時，恒有f(x)<1.
（1）試判斷f(x)在R上的單調性，并加以證明；
（2）若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2
（3）若關于
的不等式
在
上有解，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，點
，直線
.
（1）求與圓
相切，且與直線
垂直的直線方程；
（2）在直線
上（
為坐標原點），存在定點
（不同于點
），滿足：對于圓上任一點
，都有
為一常數，試求所有滿足條件的點的坐標.
【答案】(1)
；(2)答案見解析.
【解析】試題分析：
（1）設所求直線方程為
，利用圓心到直線的距離等于半徑可得關于b的方程，解方程可得
，則所求直線方程為
（2）方法1：假設存在這樣的點
，由題意可得
，則
，然后證明為常數
為即可.
方法2：假設存在這樣的點，使得為常數
，則
，據此得到關于
的方程組，求解方程組可得存在點
對于圓上任一點，都有為常數.
試題解析：
（1）設所求直線方程為，即
，
∵直線與圓相切，∴
，得，
∴所求直線方程為
（2）方法1：假設存在這樣的點，
當為圓與
軸左交點
時，
；
當為圓與軸右交點
時，
，
依題意，，解得，
（舍去），或.
下面證明點對于圓上任一點，都有為一常數.
設
，則
，
∴
，
從而
為常數.
方法2：假設存在這樣的點，使得為常數，則，
∴
，將代入得，
，即
對
恒成立，
∴
，解得
或
（舍去），
所以存在點對于圓上任一點，都有為常數.
點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】已知函數
的導函數為
，其中
為常數.
（1）當
時，求的最大值，并推斷方程
是否有實數解；
（2）若在區間
上的最大值為-3，求的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，點
，直線
，設圓
的半徑為1， 圓心在
上.
（1）若圓心也在直線
上，過點
作圓的切線，求切線方程；
（2）若圓上存在點
，使
，求圓心的橫坐標
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，且
過點
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線
與橢圓交于
兩點（點均在第一象限），且直線
的斜率成等比數列，證明：直線的斜率為定值.
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