Question

【題目】已知橢圓的短軸長為，離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線平行于直線，且與橢圓交于兩個不同的點，若為鈍角，求直線在軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由短軸長為，離心率為，可求出橢圓中的值，進而可求出橢圓的標準方程；

（2）由直線平行于直線，可設直線的方程為，與橢圓方程聯立，可得到關于的一元二次方程，由，可求得，再結合為鈍角，可得，且，將該式展開，并結合韋達定理，可求出，進而可求出的取值范圍，再結合直線在軸上的截距，可求出的取值范圍．

（1）由題意可得，所以，

，解得，

所以橢圓的標準方程為．

（2）由于直線平行于直線，即，設直線在軸上的截距為，

所以的方程為．

聯立，得，

因為直線與橢圓交于兩個不同的點，

所以，解得．

設，，則，．

因為為鈍角等價于，且，

所以

，即，且，

所以直線在軸上的截距的取值范圍：．

因為直線在軸上的截距，

所以的取值范圍是：．