Question

【題目】已知函數，其中且.

（1）若函數是奇函數，試證明：對任意的，恒有；

（2）若對于，函數在區間上的最大值是3，試求實數的值；

（3）設且，問：是否存在實數，使得對任意的，都有？如果存在，請求出的取值范圍；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在,

【解析】

（1）由函數是奇函數，可得，代入計算即可證明；
（2），，對分類討論，利用對數函數的單調性即可得出；
（3）假設存在實數，使得對任意的，都有，則等價于對任意的，的最小值大于的最大值．令，，可得其最大值．于是問題等價于，的最小值大于1，再利用復合函數的單調性即可得出．

（1）證明：因為是定義域內的奇函數，

所以對任意的，恒有

由，得

對任意的，恒有

（2）

當時，

在區間是增函數，

所以.

當時

在區間是減函數，無解

綜上所述：

（3）所以

又因為，所以，又因為，所以

因為對任意的，都有

所以的最小值大于的最大值

遞減，所以的最小值為

令，因為，所以遞增，

所以的最大值為

所以，解得.

綜上所述：滿足題設的實數的取值范圍是