Question

【題目】已知直線l：ax﹣y+1=0與x軸，y軸分別交于點A，B．
（1）若a＞0，點M（1，﹣1），點N（1，4），且以MN為直徑的圓過點A，求以AN為直徑的圓的方程；
（2）以線段AB為邊在第一象限作等邊三角形ABC，若a=﹣ ，且點P（m， ）（m＞0）滿足△ABC與△ABP的面積相等，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意A（﹣ ，0），AM⊥AN，

∴ =﹣1，∵a＞0，∴a=1，

∴A（﹣1，0），∵N（1，4），

∴AN的中點坐標為D（0，2），|AD|= ，

∴以AN為直徑的圓的方程是x2+（y﹣2）2=5；

（2）解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

由直線y=﹣ x+1，令x=0，解得y=1，

故點B（0，1），

令y=0，解得x= ，故點A（ ，0），

∵△ABC為等邊三角形，且OA= ，OB=1，

根據勾股定理得：AB=2，即等邊三角形的邊長為2，

故過C作AB邊上的高為 ，即點C到直線AB的距離為 ，

由題意△ABP和△ABC的面積相等，

則P到直線AB的距離d= |﹣ m+ |= ，

∵m＞0，

∴m= ．

【解析】（1）求出A的坐標，即可求以AN為直徑的圓的方程；（2）根據題意畫出圖形，令直線方程中x與y分別為0，求出相應的y與x的值，確定出點A與B的坐標，進而求出AB的長即為等邊三角形的邊長，求出等邊三角形的高即為點C到直線AB的距離，由△ABP和△ABC的面積相等，得到點C與點P到直線AB的距離相等，利用點到直線的距離公式表示出點P到直線AB的距離d，讓d等于求出的高列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．