Question

如圖，已知F₁、F₂分別為橢圓C₁：的上、下焦點，其中F₁也是拋物線C₂：的焦點，點A是曲線C₁，C₂在第二象限的交點，且

（Ⅰ）求橢圓₁的方程；
（Ⅱ）已知P是橢圓C₁上的動點，MN是圓C：的直徑，求的最大值和最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；
（Ⅱ）當時，，當時，。

試題分析：（Ⅰ）拋物線C₂的焦點F₁（0，1），準線，易得 ∴ 
∴  （正值舍去）∴              3分
又 ………①   …………②            5分
聯立①②得∴橢圓C₁的方程為              6分
（Ⅱ）圓C：    ∴圓心C（-2，0），半徑
設P（）              7分
法一：               9分


        11分
當時，           12分
當時，       13分
法二：設M（），則N（）            8分

      
           11分
當時，           12分
當時，         13分
法三：              8分
     
∵C是MN中點，∴          9分
∴               10分
∴
            11分
當時，              12分
當時，             13分
點評：中檔題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，a,b,c,e的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）利用平面向量的坐標運算，將問題轉化成三角函數問題，確定最值。