Question

如圖，橢圓的頂點為，焦點為，.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設n 為過原點的直線，是與n垂直相交于P點，與橢圓相交于A, B兩點的直線，.是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；并說出；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)使成立的直線不存在.

試題分析：(Ⅰ)由知a²+b²=7,             ①
由知a=2c,          ②
又b²=a²-c²                                    ③
由 ①，②，③解得a²=4,b²=3,
故橢圓C的方程為
(Ⅱ) 設A,B兩點的坐標分別為
假設使成立的直線l存在，

(i) 當l不垂直于x軸時，設l的方程為,
由l與n垂直相交于P點且得,即m²=k²+1
由得x₁x₂+y₁y₂=0
將y=kx+m代入橢圓方程,得(3+4k²)x²+8kmx+(4m²-12)=0,
由求根公式可得x₁+x₂=            ④
x₁+x₂=         ⑤


將④，⑤代入上式并化簡得       ⑥
將代入⑥并化簡得，矛盾.
即此時直線不存在.
（ii）當垂直于軸時，滿足的直線的方程為，
則A,B兩點的坐標為或
當時，
當時，
∴ 此時直線也不存在.
綜上可知，使成立的直線不存在.
點評：橢圓的概念和性質，仍將是今后命題的熱點，定值、最值、范圍問題將有所加強；利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題，其中求解與相交弦有關的綜合題仍是今后命題的重點；與其它知識的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個新的重點、熱點.