Question

【題目】（本小題共12分）

如圖，邊長為3的正方形所在平面與等腰直角三角形所在平面互相垂直， ，且， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略； （Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）過作交于，連接，先證明四邊形為平行四邊形，可得，從而根據線面平行的判定定理可得結論；（Ⅱ）以為坐標原點， 所在方向為軸正方向，建立平面直角坐標系，則平面的法向量為，再算出平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

試題解析：（Ⅰ）過作交于，連接因為， ，所以

又，所以故，

所以四邊形為平行四邊形，故，

而平面， 平面，

所以平面；

（Ⅱ）以為坐標原點， 所在方向為軸正方向，建立平面

直角坐標系，則， ， ，

平面的法向量為，設平面的法向量為

，則，即

，不妨設，則

所求二面角的大小為 .

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.