Question

已知拋物線C的方程為x²=2py（p＞0），焦點F為（0，1），點P（x₁，y₁）是拋物線上的任意一點，過點P作拋物線的切線交拋物線的準線l于點A（s，t）．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）若x₁∈[1，4]，求s的取值范圍．
（3）過點A作拋物線C的另一條切線AQ，其中Q（x₂，y₂）為切點，試問直線PQ是否恒過定點，若是，求出定點；若不是，請說明理由．

Answer 1

（本題滿分15分）
（1）由拋物線的焦點F（0，1）可得p=2
故所求的拋物線的方程為x²=4y…（3分）
（2）由導數的幾何意義可得過P的切線斜率k=y′|x=x1=

1

2

x1．
∴切線方程為y-y1=

1

2

x1(x-x1)．
∵準線方程為y=-1．
在切線方程中，令y=-1…（5分）
可得s=

x1

2

-

2

x1

．…（7分）
又s在[1，4]單調遞增
∴s的取值范圍是-

3

2

≤s≤

3

2

．…（10分）
（3）猜測直線PQ恒過點F（0，1）…（11分）
由題得P(x1，

x 21

4

)，Q(x2，

x 22

4

)，x₁≠x₂
要證點P、F、Q三點共線，只需證k_PF=k_QF，即證x₁x₂=-4…（13分）
由（2）知s=

x1

2

-

2

x1

，同理得s=

x2

2

-

2

x2

，故

x1

2

-

2

x1

=

x2

2

-

2

x2

∴

x1-x2

2

=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

∵x₁≠x₂
∴x₁x₂=-4
∵K_PF=

x12-1 4

x1

=

x12-1

4x1

，KQF=

x22-1

4x2

=

(- 1 x1 )2-1

4(- 1 x1 )

=

1-x12

-4x1

=

x12-1

4x1

=K_PF
從而可知點P、F、Q三點共線，即直線PQ恒過點F（0，1）…（15分）