Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F與橢圓Γ：＋y2＝1的一個焦點重合，點M(x0，2)在拋物線上，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點．

(Ⅰ)求拋物線C的方程以及|MF|的值；

(Ⅱ)記拋物線C的準線與x軸交于點H，試問是否存在常數λ∈R，使得且|HA|2＋|HB|2＝都成立？若存在，求出實數λ的值； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 拋物線C的方程為y2＝4x,|MF|=2；(Ⅱ) λ＝2或.

【解析】試題分析: （1）由題意方程，求得橢圓的焦點坐標，則，即可求得p的值，求得拋物線方程，利用拋物線的焦點弦公式即可求得|MF|的值；

（2）將直線方程代入拋物線方程，由向量數量積的坐標運算，求得，利用兩點之間的距離公式，列方程，即可求得實數λ的值．

試題解析：

(Ⅰ)依題意，橢圓Γ：＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，故c2＝a2－b2＝1，故F，故＝1，則2p＝4，故拋物線C的方程為y2＝4x，將M代入y2＝4x，解得x0＝1，

故＝1＋＝2.

(Ⅱ)(法一)依題意，F，設l：x＝ty＋1，設A，B，

聯立方程，消去x，得y2－4ty－4＝0.∴　　①

且，又＝λ則＝λ，即y1＝－λy2，代入　①

得，

消去y2得4t2＝λ＋－2，且H，

則|HA|2＋|HB|2＝＋y＋＋y＝x＋x＋2＋2＋y＋y＝＋＋2＋2＋y＋y＝＋4t＋8＝＋4t·4t＋8＝16t4＋40t2＋16.由16t4＋40t2＋16＝，

解得t2＝或t2＝－ (舍)，故λ＝2或.