Question

【題目】已知雙曲線的焦點是橢圓的頂點， 為橢圓的左焦點且橢圓經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右頂點作斜率為的直線交橢圓于另一點，連結并延長交橢圓于點，當的面積取得最大值時，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）由雙曲線的焦點是橢圓： （）的頂點可得再由橢圓經過點可得 ，從而可得求橢圓的方程；（2）設直線： ，聯立： ，得，根據韋達定理及三角形面積公式將當的面積用 表示，利用基本不等式等號成立的條件，可得當的面積取得最大值時，求的面積.

試題解析：（1）由已知得

所以的方程為．

（2）由已知結合（1）得， ， ，

所以設直線： ，聯立： ，得，

得，

（），

當且僅當，即時， 的面積取得最大值，

所以，此時，

所以直線： ，聯立，解得，

所以，點到直線： 的距離為，

所以．

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.