Question

【題目】已知橢圓．

（1）若橢圓的離心率為，求的值；

（2）若過點任作一條直線與橢圓交于不同的兩點，在軸上是否存在點，使得 若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）存在點 ，使得 ．

【解析】

（1）由a2=2，b2=n，所以c2=2-n，又，得n
（2）若存在點M（m，0），使得∠NMA+∠NMB=180°，
則直線AM和BM的斜率存在，分別設為k1，k2．等價于k1+k2=0．
依題意，直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y=k（x+2）．與橢圓方程聯立，利用△＞0．求出．設A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理，通過令，求出m．

解：（1） 因為 ，，所以 ．

又 ，所以有 ，得 ．

（2）若存在點 ，使得 ，

則直線 和 的斜率存在，

分別設為 ，，且滿足 ．

依題意，直線 的斜率存在，故設直線 的方程為 ．

由 得 ．

因為直線 與橢圓 有兩個交點，所以 ．

即 ，解得 ．

設 ，，則 ，，

，．

令 ，即 ，

即 ，

當 時，，

所以 ，化簡得，，所以 ．

當 時，檢驗也成立．

所以存在點 ，使得 ．