Question

【題目】已知兩動圓F1：（x+ ）2+y2=r2和F2：（x﹣ ）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4），把它們的公共點的軌跡記為曲線C，若曲線C與y軸的正半軸的交點為M，且曲線C上的相異兩點A，B滿足： =0．
（1）求曲線C的方程；
（2）證明直線AB恒經過一定點，并求此定點的坐標；
（3）求△ABM面積S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設兩動圓的公共點為Q，則有|QF1|+|QF2|=4（4＞|F1F2|）．

由橢圓的定義可知Q的軌跡為橢圓，a=2，c= ．b=1，

所以曲線C的方程是： =1

（2）解：證明：由題意可知：M（0，1），設A（x1，y1），B（x2，y2），

當AB的斜率不存在時，易知滿足條件 =0的直線AB為：x=0，過定點N（0，﹣ ）．

當AB的斜率存在時，設直線AB：y=kx+m，聯立方程組有：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

x1+x2=﹣ ①，x1x2= ②，

因為 =0，所以有x1x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）=0，

把①②代入整理化簡得（m﹣1）（5m+3）=0，m=﹣ 或m=1（舍），

綜合斜率不存在的情況，直線AB恒過定點N（0，﹣ ）

（3）解：△ABM面積S=S△MNA+S△MNB= |MN||x1﹣x2|=

因N在橢圓內部，所以k∈R，可設t= ≥2，

S= = ≤ = （k=0時取到最大值）．

所以△ABM面積S的最大值為

【解析】（1）設兩動圓的公共點為Q，則有|QF1|+|QF2|=4，運用橢圓的定義，即可得到a，c，b，進而得到Q的軌跡方程；（2）M（0，1），設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根據直線AB的斜率不存在和存在，設出直線方程，根據條件，運用向量的數量積的坐標表示，結合韋達定理和直線恒過定點的求法，即可得到定點；（3）△ABM面積S=S△MNA+S△MNB= |MN||x1﹣x2|，代入韋達定理，化簡整理，結合N在橢圓內，運用對勾函數的單調性，即可得到最大值．