Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，.過直線的平面分別交棱，于E，F兩點.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角為，且，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由線面平行的性質可得，取中點G，連接，則為平行四邊形，由平面幾何知識即，由線面平行的判定可得平面，再由線面垂直的性質即可得證；

（2）由題意，E、F分別為、的中點，建立空間直角坐標系，求出各點坐標后，進而可得平面的一個法向量為、平面的一個法向量，由即可得解.

（1）證明：∵，平面，∴平面，

又面面，∴，

取中點G，連接，如圖：

則為平行四邊形，

∴，又，，故，

∴，∴，

又，，∴平面，

∴平面，

又平面，∴；

（2）由（1）知平面，∴即為直線與平面所成角，

∴，∴，解得，

又，∴E，F分別為，的中點，

取中點O，連接，則，，

由平面可得，，故平面，

以O為原點，，，分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖：

則，，，，，

故，，，

設平面的一個法向量為，

則，令得，

顯然是平面的一個法向量，

∴，

由題知二面角的余弦值為.