Question

【題目】（本小題滿分10分）如圖，在長方體中，，，與相交于點，點在線段上（點與點不重合）．

（1）若異面直線與所成角的余弦值為，求的長度;

（2）若，求平面與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（１）或． （２）

【解析】

試題分析：（1）先建立空間直角坐標系，設，利用空間向量數量積可求兩向量夾角：，解得或，因此或．

（2）求二面角，關鍵求出平面的法向量，設平面的一個法向量為，根據，可得，同理設平面的一個法向量為，根據可得，因此二面角滿足：∴．

試題解析：（1）以為一組正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題意，知,，

，，.設，

∴，.

設異面直線與所成角為，

則，

化簡得：,解得：或，

或． 5分

（2）∵，∴，

,，,，

設平面的一個法向量為，

∴，∴，即，取，，

設平面的一個法向量為，

∴，∴，即，取，，

設平面與平面所成角為，

∴，

∴． １０分