Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓：的上頂點為，左、右焦點分別為，，直線的斜率為，點，在橢圓上，其中是橢圓上一動點，點坐標為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）作直線與軸垂直，交橢圓于，兩點（，兩點均不與點重合），直線，與軸分別交于點，，試求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)4

【解析】

（1）根據直線的斜率求得的關系式，結合在橢圓上列方程，求得的值，進而求得橢圓標準方程.

（2）設出的坐標，求得直線的方程，由此求得的坐標，即求得的表達式，對利用基本不等式，結合的坐標滿足橢圓方程進行化簡，由此求得的最小值.

（1）由直線的斜率為可知直線的傾斜角為.

在中，，于是，，

橢圓：，將代入得，所以.

所以，橢圓的標準方程.

（2）設點，，，

于是，直線：，令，，

所以，

直線：，令，，

所以，

，

又，，

代入上式并化簡，

即，

當（即）時取得最小值.